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  一种可以直接从微(积)分方程式求得近似解的数学方法,在计算力学中应用较多。其要点是:先假设一个称为试函数的近似函数,把它代入要求解的微分方程和边界条件或初值条件;这样的函数一般不能完全满足这些条件,因而出现误差,即出现残数或残值;选择一定的权函数与残数相乘,列出在解的域内消灭残数的方程式,就可以把求解微分方程的问题转化为数值计算问题,从而得出近似解。

  如某一应用科学问题的控制微分方程式和边界条件分别为:

       

Fu-f=0  (V域),      (1)

       

Gu-g=0  (S域),      (2)

式中u为待求函数;F和G为算符;f和g为不含u的项。设试函数为:

Kdka20071220920.gif (3)

式中Ci为待定参数或函数。式(3)一般不能满足式(1)和式(2),从而出现内部残数Ri和边界函数Rb,即

Kdka20071220921.gif (4)
Kdka20071220922.gif (5)

  为消灭残数,分别以内部权函数Wi和边界权函数Wb乘式(4)和(5),列出消除残数的方程:

Kdka20071220923.gif (6)
Kdka20071220924.gif (7)

  它们将转变为代数方程式,从这些方程式求出Ci,就获得满足式(1)和式(2)的近似解(3)。

  若解(3)中所选择的试函数项Ni事先已能满足式(2),则只需用式(6)消除残数,这种方法称为内部法。若Ni已满足式(1),则只需用式(7)消灭残数,这种方法称为边界法。若Ni既不满足式(1),又不满足式(2),则须用式(6)和式(7),这种方法称为混合法。

  作为一种数值计算方法,加权残数法具有下述优点:①原理的统一性:寻求控制微分方程式的近似解,不分问题的类型和性质;②应用的广泛性:数学、固体力学流体力学、热传导、核物理和化工等多学科的问题都能应用;既可解边值问题、特征值问题和初值问题,也可解非线性问题;③不依赖于变分原理:在泛函不存在时也能解题;④方法一般比较简单、快速、准确,工作量少,程序简单。

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