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2010年7月15日 (四) 15:46老生常庸讨论 | 贡献的版本

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一、哥德巴赫猜想

哥德巴赫介绍

  哥德巴赫(Goldbach]C.,1690.3.18~1764.11.20)是德国数学家;
哥德巴赫人物
出生于格奥尼格斯别尔格(现名加里宁城);曾在英国牛津大学学习;原学法学,由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣;曾担任中学教师。1725年,到了俄国,同年被选为彼得堡科学院院士;1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书;1742年,移居莫斯科,并在俄国外交部任职。来源

  1729年~1764年,哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。在1742年6月7日给欧拉的信中,哥德巴赫提出了一个命题。他写道:"我的问题是这样的:随便取某一个奇数,比如77,可以把它写成三个素数之和:77=53+17+7;再任取一个奇数,比如461,461=449+7+5,也是三个素数之和,461还可以写成257+199+5,仍然是三个素数之和。这样,我发现:任何大于7的奇数都是三个素数之和。但这怎样证明呢?虽然做过的每一次试验都得到了上述结果,但是不可能把所有的奇数都拿来检验,需要的是一般的证明,而不是个别的检验。"欧拉回信说:“这个命题看来是正确的”。但是他也给不出严格的证明。同时欧拉又提出了另一个命题:任何一个大于6的偶数都是两个素数之和,但是这个命题他也没能给予证明。不难看出,哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。事实上,任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式:2N+1=3+2(N-1),其中2(N-1)≥4。若欧拉的命题成立,则偶数2(N-1)可以写成两个素数之和,于是奇数2N+1可以写成三个素数之和,从而,对于大于5的奇数,哥德巴赫的猜想成立。

  但是哥德巴赫的命题成立并不能保证欧拉命题的成立。因而欧拉的命题比哥德巴赫的命题要求更高。

  现在通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。

小史

  从哥德巴赫提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如: 6 = 3 +3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 +11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13,……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想(1)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。
哥德巴赫的几个猜想
从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了,没有人证明它。也没有任何实质性进展。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。人们对哥德巴赫猜想难题的热情,历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者,殚精竭虑,费尽心机,然而至今仍不得其解。

  到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论:任何大于特定大偶数N的偶数都可以表示为两个殆素数之和的形式,且这两个殆素数只拥有最多9个素因子。(所谓“殆素数”就是素数因子(包括相同的与不同的)的个数不超过某一固定常数的奇整数。例如,15=3×5有2个素因子,27=3×3×3有3个素因子。)此结论被记为“9+9”。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从“9十9”开始,逐步减少每个殆素数里所含素因子的个数,直到使每个殆素数都是奇素数为止。值得注意的是,考虑到条件“大于特定大偶数N”,利用这种方法得出的结论本质上有别于哥德巴赫猜想。

  目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理:“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者最多仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为(1 + 2)。

进展

  在陈景润之前,关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:

  1920年,挪威的布朗证明了“9 +9”。

  1924年,德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。

  1932年,英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。

  1937年,意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 +366”。

  1938年,苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。

  1940年,苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。

  1948年,匈牙利的瑞尼证明了“1+ c”,其中c是一很大的自然数。

  1956年,中国的王元证明了“3 +4”。

  1957年,中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。

  1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”, 中国的王元证明了“1 + 4”。

  1965年,苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫,及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。

  1966年,中国的陈景润证明了 “1 +2 ”。

有关对“陈氏定理”的所谓质疑

  (一)“质疑”如下:

  一、陈景润证明的不是哥德巴赫猜想

  陈景润与邵品宗合著的【哥德巴赫猜想】第118页(辽宁教育出版社)写道:陈景润定理的“1+2”结果,通俗地讲是指:对于任何一个大偶数N,那么总可以找到奇素数P',P",或者P1,P2,P3,使得下列两式至少一式成立:“

  N=P'+P" (A)

  N=P1+P2*P3 (B)

  当然并不排除(A)(B)同时成立的情形,例如62=43+19,62=7+5X11。”

  众所周知,哥德巴赫猜想是指对于大于4的偶数(A)式成立,【1+2】是指对于大于10的偶数(B)式成立,

  两者是不同的两个命题,陈景润把两个毫不相关的命题混为一谈,并在申报奖项时偷换了概念(命题),陈景润也没有证明【1+2】,因为【1+2】比【1+1】难得多。

  注意:在逻辑上,一个理证如果是正确的,就不允许有反面的困难,凡是差异的事物,都是可以区别的,可以分离的,也就是说,证明一个观点,是不允许“渗透”的,两个物体组合成为一个物体,只能理解一个物体被消灭了,一个被保存了。“1+2”就是1+2,不能说1+2包含了1+1.

  二、陈景润使用了错误的推理形式

  陈采用的是相容选言推理的“肯定肯定式”:或者A,或者B,A,所以或者A或B,或A与B同时成立。这是一种错误的推理形式,模棱两可,牵强附会,言之无物,什么也没有肯定,正如算命先生那样“:李大嫂分娩,或者生男孩,或者生女孩,或者同时生男又生女(多胎)”。无论如何都是对的,这种判断在认识论上称为不可证伪,而可证伪性是科学与伪科学的分界。相容选言推理只有一种正确形式。否定肯定式:或者A,或者B,非A,所以B。相容选言推理有两条规则:1,否认一部分选言肢,就必须肯定另一部分选言肢;2,肯定一部分选言肢却不能否定另一部份选言肢。可见对陈景润的认可表明中国数学会思维混乱,缺乏基本的逻辑训练。

  三、陈景润大量使用错误概念

  陈在论文中大量使用“充分大”和“殆素数”这两个含糊不清的概念。而科学概念的特征就是:精确性,专义性,稳定性,系统性,可检验性。而“充分大”,陈指10的50万次方,这是不可检验的数。殆素数是说很像素数,小孩子的游戏。

  四、陈景润的结论不能算定理

  陈的结论采用的是特称(某些,一些),即某些N是(A),某些N是(B),就不能算定理,因为所有严格的科学的定理,定律都是以全称(所有,一切,全部,每个)命题形式表现出来,一个全称命题陈述一个给定类的所有元素之间的一种不变关系,适用于一种无穷大的类,它在任何时候都无区别的成立。而陈景润的结论,连概念都算不上。

  五、陈景润的工作严重违背认识规律

  在没有找到素数普遍公式之前,哥氏猜想是无法解决的,正如化圆为方取决于圆周率的超越性是否搞清,事物质的规定性决定量的规定性。(哥德巴赫猜想传奇)王晓明1999,3期《中华传奇》责任编辑陶慧洁)。

  (二)声明

  我国有许多数学爱好者称自己证明了“哥德巴赫猜想”。其中一些人由于“成果”不能发表,别有用心的捏造了“陈景润当年的证明是造假”“陈景润、王元、潘承洞偷换概念申报奖项”的谣言,歪曲事实,以达到炒作自己“成果”的目的。这些“质疑”缺乏基本的数学知识,偷换概念严重,论证违反科学,很多都是主观判断,缺乏根据。 

  目前,国际数学界对“陈氏定理”的正确性仍然没有任何争议,公认“陈氏定理”是哥德巴赫猜想研究的最佳成果。“陈氏定理”在外国很多数论书籍上被引用,著名的如英国的《筛法》、《素数求解问题》、《数论》、美国的《20世纪数学》等。读者可以自己查证相关信息。这也提醒我们,在这个信息发达的时代一定要注意判断信息来源和正确性。

  (三)辨析

  1、陈景润证明的不是“哥德巴赫猜想”,这一点不需质疑。国际数学界一直就有公论,陈景润证明的“1+2”,只是“最好的成果”,而并非对于“1+1”的证明,两者之间不能划等号。这一点,在过去一直是清晰的。(陈景润从没说过自己证明了“哥德巴赫猜想”、“1+1”)

  2、“陈氏定理”是独立的定理,证明的只是陈氏想要证明的结果。因此“相容选言”的论断在这里并不适用。因为陈氏并不想用自己的结果推出其他的结果。只要陈氏在得出这个结果之前的其他步骤没有问题,证明本身就不存在问题。也就是说,陈氏想要得到的就是“或者A,或者B”的结果。而在陈氏之前,没有人能够证明这个结果,陈氏通过严格的证明得到了这个结果,尽管这个结果目前还是不能解决其他问题,但不能说证明本身就是有问题的。

  3、由2,相关的“质疑”并没有拿出充分的证据和合理的逻辑来说明陈景润的工作“违背认识律”。因此得出的结论暂时不成立。而“陈景润的结论不能称为定理”这个命题跟哥德巴赫猜想一样,目前暂时也还无解。(“陈氏定理”是国际数学界命名的,不是陈景润自己说的)

  4、有关陈景润“造假”,除此之外,没有任何其他证据。(目前没有有力证据)

  5、质疑者提出陈景润使用“殆素数”和“充分大”的概念是违背数学规律的,这一点质疑者没有进行具体的论证。而反“质疑”者则拿出了“殆素数”和“充分大”概念已经在国际上被广泛承认的证据:(“殆素数并非错误概念,是事实存在的,这两个概念数学界早已精确定义并普遍使用,而且陈景润证明中从没有“殆素数”的字样,“充分大”只用了一次”)

  6、质疑者目前暂时对反对“质疑”者的这个证据没有拿出有力的反面证据。反“质疑”者认为陈景润没有使用过“殆素数”这个概念,但没有出现这个词,并不代表事实上这个概念没有被使用。因为根据“殆素数”的定义,陈景润的“1+2”成果本身就是为“殆素数”服务的但反对“质疑”者的这点小错误对整个问题的是非曲直没有影响。关键还在于5。

  7、质疑者拿不出充分的证据,却歪曲事实,肆意指责,反“质疑”者认为质疑者“别有用心”,是有一定道理的。在这次事件中,所谓“质疑”者捏造事实,侵犯了陈景润以及相关科学研究人员的人格尊严、名誉权,是对科学家人权的践踏。尽管因为其捏造的事实太离题,经过辨析也真假立辨,但这种网络上胡乱捏造事实诽谤他人的行为却已经泛滥成风。在我国的法制体系中,有必要对相关内容进行完善。

现状

  (一)

  数学家求解“将偶数表为两个素数之和的表示个数”采用的公式,偶数中,满足条件的素数的个数趋近于{2乘以[(P-1)/(P-2)的连乘积],乘以[孪生素数计算式中的系数],再乘以[N数与N数的自然对数的平方数的比值]}。

  查证可知:四项数的积又大于“2(大于1的分数)(0.66..){(N数的平方根数与N数的平方根数的自然对数)的平方数/4}”,它等效于(>1.32的数)(N数的平方根数内素数个数的平方数/4),得到了公式大于1的要求。

  命T(N)为奇数表为三个素数之和的表示个数,

  T(N)~(1/2)∏[1-(1/(P-1)²]∏{1+1/[(P-1)³]}{(N²)/(lnN)³} 

  前一级数参数是P整除N 。后一级数参数是P非整除N, 由

  ∏{(1+(1/(P-1)³)/(1-(P-1)²)}==∏{1+[1/[(P-1)(P-2)]]},

  原式转换条件,变换为下式:

  T(N)~(1/2)∏[1-(1/(P-1)²]∏{1+(1/[(P-2)(P-1)]}{(N²)/(lnN)³]} 

  前一级数参数成为全种类,有趋近值(0.66..),后一级数只增不减。公式等效于

  [(0.66..)/2]·(>1的分数)·[(N数与N数的自然对数的比值)(N数的平方根数内素数个数的平方数/4)],

  它等效于(>0.33..)(N数内素数个数)(N数的平方根数内素数个数的平方数)/4, 得到了公式大于1的要求。

  (二) 

  “近20年来,哥德巴赫猜想的证明没有本质进展。”北京师范大学数学系教授、将在本届国际数学家大会上作45分钟报告的陈木法说,“它的证明就差最后一步。如果研究取得本质进展,那猜想也就最终获得了解决。”据陈木法介绍,在2000年,国际上曾有机构列出了数学领域的7个千年难题,悬赏百万美元求解,但并未将哥德巴赫猜想包括在内。“在最近几年甚至十几年内,哥德巴赫猜想还难以获得证明。”中科院数学与系统科学研究院研究员巩馥洲这样分析,现在猜想已成为一个孤立的问题,同其他数学学科的联系不太密切。同时,研究者也缺少有效的思想、方法来最终解决这一著名猜想。“陈景润先生生前已将现有的方法用到了极至。”剑桥大学教授、菲尔茨奖得主贝克尔也表示,陈景润在这项工作上取得的进展是迄今为止最好的求证结果,目前还没有更大的突破。“在解决这类数学难题时,可能一二百年内都难有进展,也可能短期内就有重大进展。”在巩馥洲看来,数学研究中存在一定的偶然性,也许可以让人们提前在猜想证明上获得进展。

  猜想求证呼唤全新思路

  为求解“核心数学中具有挑战性的问题”,中科院数学与系统科学研究院成立了专门的国际研究团队。研究院负责人、研究员李福安介绍说:“我们期望在黎曼猜想等领域取得突破。这一研究团队并没有将哥德巴赫猜想作为努力的方向。”2000年3月,英国和美国两家出版公司曾悬赏百万美元,征求哥德巴赫猜想的最终解决方案,再次使之成为社会关注的热点。两年过去了,直到最后的截止日期,也没有人前来领取这笔奖金。据估计,全世界约有二三十人有能力从事猜想的求证。对于这一著名猜想的最终解决,潘承洞曾撰文指出:现在看不出沿着人们所设想的途径有可能去解决这一猜想。我们必须对有关方法作出重大改进,或提出新的方法,才可能对猜想取得进一步的研究成果。王元的判断与此基本相似:“对哥德巴赫猜想的进一步研究,必须有一个全新的思路。”作为我国当代著名的数学家,王元和潘承洞都在猜想证明过程中做出过重大贡献。“数学研究不只是做难题,我不赞成片面炒作这些难题。在我看来,研究这些数学难题的人不到世界数学家的1%。”陈木法觉得,“数学研究不必非得去解答别人提出的问题,我们要多做些原创性的研究,注重整体研究力量的提高。”

  “民间数学家” 距离“明珠”有多远?

  国际数学家大会开幕前夕,一些“民间数学家”纷纷来到北京,声称自己“已完全证明”了哥德巴赫猜想,引起社会的关注。实际上,近年来我国不断有人拿着猜想的“最终证明结果”轮流拜访多位数学家,也不时传出“农民成功证明哥德巴赫猜想”、“拖拉机手摘得‘皇冠上的明珠’”等“爆炸性新闻”。“随着大会的临近,数学研究院收到的关于猜想研究成果的稿件也越来越多。”中科院研究员李福安说,“20多年有成千上万的业余爱好者,我就收到了200多封信。他们的选题主要集中在哥德巴赫猜想上。由于猜想表述非常简洁,大多数的人都能懂,所以很多人都想来破解这个难题。”“民间人士热爱科学的热情应该保护,但我们不提倡民间人士去攻世界数学难题。他们可以用这种热情去做更合适的事情。”李福安说,“从来稿中可以看出,不少作者既缺乏基本的数学素养,又不去阅读别人的数学论文,结果都是错的。”“国外也有这种现象。比如在柏林国际数学家大会期间,就有人在会场张贴论文,宣称自己证明了(1+1)。”首届国家最高科学技术奖获得者、本届国际数学家大会主席吴文俊说:“一些业余爱好者会一点儿数学,有一点儿算术基础,就去求证(1+1),并把所谓的证明论文寄给我。其实像哥德巴赫猜想这样的难题,应该让‘专门家’去搞,不应该成为一场‘群众运动’。”为此,许多数学家对数学爱好者提出忠告:“如果真想在哥德巴赫猜想证明上做出成绩,最好先系统掌握相应的数学知识,以免走不必要的弯路。”

  (三) 

  关于哥德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了,我要说一下为什么现代数学界对哥德巴赫猜想的兴趣不大,以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对哥德巴赫猜想研究兴趣很大。

  事实上,在1900年,伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告,提出了23个挑战性的问题。哥德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题,这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想,若黎曼猜想能够成立,很多问题就都有了答案,而哥德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立,若单纯的解决了这两个问题,对其他问题的解决意义不是很大。所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时,发现一些新的理论或新的工具,“顺便”解决哥德巴赫猜想。

  为什么民间数学家们如此醉心于哥猜,而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢?一个重要的原因就是,黎曼猜想对于没有学过数学的人来说,想读明白是什么意思都很困难。而哥德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。

  数学界普遍认为,这两个问题的难度不相上下。民间数学家解决哥德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题,一般认为,初等数学无法解决哥德巴赫猜想。退一步讲,即使那天有一个牛人,在初等数学框架下解决了哥德巴赫猜想,有什么意义呢?这样解决,恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。

  当年柏努力兄弟向数学界提出挑战,提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程,约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程,雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂,但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。现在来看,雅克布的方法是最有意义和价值的。同样,当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理,但却不公布自己的方法。别人问他为什么,他回答说:“这是一只下金蛋的鸡,我为什么要杀掉它?”的确,在解决费尔马大定理的历程中,很多有用的数学工具得到了进一步发展,如椭圆曲线、模形式等。

  所以,现代数学界在努力的研究新的工具,新的方法,期待着哥德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论。

中国数学家的贡献

  华罗庚是中国最早从事哥德巴赫猜想的数学家。1936~1938年,他赴英国剑桥大学留学,在哈代的指导下从事数论研究,并开始研究哥德巴赫猜想,取得了很好的成果,证明了对于“几乎所有”的偶数,猜想(1)都是正确的。

  1950年,华罗庚从美国回国,在中科院数学研究所组织数论研究讨论班,选择哥德巴赫猜想作为讨论的主题,倡议并指导他的一些学生研究这一问题。他曾对学生们说:“我并不是要你们在这个问题上作出成果来。我的着眼点是哥德巴赫猜想跟解析数论中所有的重要方法都有联系,以哥德巴赫猜想为主题来学习,将可以学会解析数论中所有的重要方法……哥德巴赫猜想真是美极了,现在还没有一个方法可以解决它。”参加这个数论讨论班的学生有王元、潘承洞和陈景润等。

  出乎华罗庚的意料,学生们在哥德巴赫猜想的证明上取得了相当好的成绩。1956年,王元证明了“3+4”;同年,原苏联数学家阿·维诺格拉朵夫证明了“3+3”;1957年,王元又证明了“2+3”;潘承洞于1962年证明了“1+5”;1963年,潘承洞、巴尔巴恩与王元又都证明了“1+4”;1966年,陈景润在对筛法作了新的重要改进后,证明了“1+2”。1974年,由英国数学家哈勃斯坦和西德数学家李希特合著的《筛法》一书出版,书中以“陈氏定理”作为最后一章的标题。书中写道:“我们本章的目的是为了证明陈景润下面的惊人定理,我们在前10章已经付印时才注意到这一结果。从筛法的任何方面来说,它都是光辉的顶点。”华罗庚曾对王元说:“在我的学生的工作中,最使我感动的是‘1+2’。”

意义

  哥德巴赫猜想的内容十分简洁,但它的证明却异乎寻常的困难。从哥德巴赫写信之日起,直至1920年,并没有一个方法可以用来证明这个问题。

  1900年,在法国巴黎召开的第2届国际数学大会上,德国数学家大卫·希尔伯特在他著名的演说中,为20世纪的数学家建议了23个问题,而哥德巴赫猜想(1)就是他第八个问题的一部分。

  1912年,在英国剑桥召开的第5届国际数学大会上,德国数学家E·朗道将哥德巴赫猜想列为数论中按当时数学水平不能解决的4个问题之一。

  1921年,数论泰斗、英国数论学家哈罗德·哈代在德国哥德哈根数学会的演讲中,宣称猜想(1)的困难程度“是可以与数学中任何未解决的问题相比拟的”。

  我国数学家王元说:“哥德巴赫猜想不仅是数论,也是整个数学中最著名与困难的问题之一。”

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