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G.(F.P.)康托尔(1845~1918)

  德国数学家,集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡(今苏联列宁格勒),1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学,从学于E.E.库默尔K.(T.W.)外尔斯特拉斯L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试,后即在该大学任讲师,1872年任副教授,1879年任教授。

  大学期间康托尔主修数论,但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列(即柯西序列)定义无理数的实数理论,并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。

  1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金,此后时常往来并通信讨论。1873年他估计,虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应,但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计,并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应,这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中,他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。

  在整数和实数两个不同的无穷集合之外,是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索,1877年他证明了n维形体的点和线上的点可以有一一对应。他说,“我见到了,但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦-雷蒙和克罗内克都反对,而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系,而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。

  康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。

  康托尔认为,建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879~1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇,其中5篇的内容大部分为点集论,而第5篇很长,此篇论述序关系,提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列,并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理(每一集合都能被良序),但未给出证明。

  在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里,他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大,由此可知,没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出,其后在1883年论文里说即将有一严格证明,但他始终未能给出。

  19世纪70年代许多数学家只承认,有穷事物的发展过程是无穷尽的,无穷只是潜在的,是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体,例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷,从而遭到了一些数学家和哲学家的批评与攻击,特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面,康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展,已成为数学的基础理论。

  他的著作有:《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。

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