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potential flow

  它的流场是一个标量函数嗞的梯度。采用直角坐标系x、y、z,把流速U的三个分量用μ、υ、 来表示,则它们都是x、y、z和时间t的函数。在位势流中,U=墷嗞,即

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式中嗞称做速度势。

  数学分析有一命题:旋度在一个区域中为零同这个区域中流动有速度势是相互等价的。因此,位势流又叫无旋流。从18世纪开始,人们用位势流的方法成功地反映了涟波、潮汐波和声波的规律。19世纪中期又弄清无粘流体的理论可以允许一部分流体是有旋的(如涡丝、涡环),而包围这部分有旋流的却可以是位势流。并且,如果知道了有旋流部分的旋度分布,就可以算出位势流部分的速度场。

  位势流在流体力学中发展得早而成熟,从欧拉就开始研究,这是因为相应的数学问题比较简单。把三个未知函数 μ、υ、 用一个标量函数嗞来代替,如果密度ρ均匀不变,又不考虑粘性,而采用欧拉方程计算,则连续方程2007111515071059-02.gif,就简化成

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这样,方程就变成了线性的、只有一个未知量嗞的二阶常系数椭圆型方程──拉普拉斯方程。这比原来要处理的非线性方程组,从数学上说简单得多。此外,在定常的情形下,还可以把欧拉方程组沿流线积分而得到伯努利方程。这样,一旦求出嗞就可根据伯努利方程求出压力分布p(x,y,z,t)。

  究竟在什么条件下会出现位势流,这是由开尔文(W.汤姆孙)在 1869年证明了环量守恒定理后才比较清楚了,例如无粘气体从静止状态而形成绝热运动,或是密度不变的无粘流体在重力作用下运动,则在流体内部(不涉及固体壁面或接触间断之类的边界)画任意一些封闭“流体线”(指永远是由同样的流体质点所组成的线,它和流体质点一起运动),沿这些线的环量起初都是零。如果以后流场保持连续,且欧拉方程成立,那么流体线都移动、变形,环量仍为零。因此,这些流体线内部没有旋度,都是位势流。可见,位势流的出现会是广泛的。还要说明一下,不能盲目地假设流动一定都是位势流。流体线不能穿过流场发生不连续的面(如切向间断),否则环量守恒和上述论证都不成立。切向间断和边界层是两种产生涡旋的原因(见涡旋)都不能用位势流理论来描述。

  参考书目

  H. Lamb, Hydrodynamics, 6th ed., Cambridge University Press, Cambridge, Eng.,1932.

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