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  一种特殊的三角级数。形如


2007112601ajskhgcuayc.gif   (1)


的级数,其中αn(n=0,1,2,…)和bn(n=1,2,…)是与x无关的实数,称为三角级数。特别,当(1)中的系数αn,bn可通过某个函数ƒ(x)用下列公式表示时,级数(1)称为ƒ的傅里叶级数:


2007112602kujhiausdnc.gif   (2)


式中ƒ是周期2π的可积函数,即ƒ∈l1(-π,π)。此时,由公式(2)得到的系数αn,bn称为ƒ的傅里叶系数。ƒ的傅里叶级数记为


2007112603asoidjiaoc.gif。   (3)


当然,ƒ的傅里叶级数并不一定收敛;即使收敛,也不一定收敛于ƒ(x)。假如已知三角级数一致收敛于ƒ(x),即2007112604asdjchiadc.gif,那么双方都乘以cosnx或sinnx后,在(-π,π)上可以逐项积分,由三角函数系的正交性,即得公式(2)。所以,如果三角级数(1)一致收敛于ƒ(x),级数(1)必为ƒ的傅里叶级数。

  问题往往是,给定函数ƒ,需要把它表示成三角级数(1)。J.-B.-J.傅里叶的建议是,利用公式(2),求出ƒ的傅里叶系数αn,bn,就得到傅里叶级数(3)。可以证明,只要ƒ满足一定的条件,那么ƒ的傅里叶级数σ[ƒ]收敛于ƒ。

  傅里叶级数的收敛判别法  常用的判别法有:

  ① 迪尼判别法 对固定的点x,如有数s,使得函数φx(u)/u=(ƒ(x+u)+ƒ(x-u)-2s)/u在[-π,π]上勒贝格可积,则σ[ƒ]在点x收敛于s。由此可知,当ƒ在点x连续,并满足李普希茨条件,即2007112605khisacunncccc.gif(0<u≤h),那么σ[ƒ]在x收敛于ƒ(x),其中M ,h,α均为正数,且α≤1。另外,当ƒ(x)具有连续的导函数ƒ┡(x)时,σ[ƒ]一致收敛于ƒ(x)。

  ② 狄利克雷-若尔当判别法 假设函数ƒ在含有点x的某区间,例如[x-h,x+h]上分段单调,则ƒ的傅里叶级数在点x收敛于(ƒ(x+0)+ƒ(x-0))/2。

  上面提到的收敛判别法,对函数所提的要求,都是充分条件,并非必要的。关于收敛性判别法,还有几种。值得注意的是,至今还没有收敛的充分且必要的条件。

  傅里叶级数的复数形式   三角级数(1)还可用指数函数来表示。事实上,2007112606jhasdcyuwcbbacccc.gif/2,2007112607hjasgdcyuac.gif(叿n表示сn的共轭复数),那么级数(1)可写成复数形式


2007112608akjdschuiacccc.gif,    (4)


这里,(4)的部分和Sn理解为2007112609ksjahcuiaccc.gif。假如(1)是ƒ的傅里叶级数,那么它的复数形式也是(4),但系数


2007112610jhasdhucuaccc.gif。   (5)


上式表达的сn称为ƒ的复傅里叶系数,又称ƒ的傅里叶系数的复形式。

  傅里叶系数的重要性质  列举下面两条:

  ① 若ƒ(x∈l(-π,π),则ƒ的傅里叶系数αn,bn(或сn),当n→∞时趋于0,称为黎曼-勒贝格定理。

  ② 若ƒ(x∈l2(-π,π),则有


2007112611dsloadcmmcc.gif


这个等式称为帕舍伐尔等式;反之假如{сk}是一列双向的数列,满足条件2007112612asdkjcaccc.gif,那么必存在惟一的函数ƒ(x∈l2(-π,π),它的傅里叶系数等于{сk}(k=0,±1,±2,…)。这个逆命题称为里斯-费希尔定理。

  三角级数与单位圆内解析函数的关系 设z=eix(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点,于是级数


2007112613kahdsaicnnc.gif   (6)


的实部就是三角级数(1),虚部


2007112614uasidchiacmmccc.gif  (7)


称为三角级数(1)的共轭级数。假如(6)中的z表示单位圆内的点,即z=reix(0≤r<1),那么(6)就是复变数z=reix的幂级数,当它收敛时,其和函数是单位圆内的解析函数。所以三角级数(1)可以看做单位圆内解析函数边界值的实部。

  多元三角级数与多元傅里叶级数 设2007112615kjahsdicnnncbac.gif为m 维欧氏空间Rm的点,级数


2007112616ajksdhcuiiac.gif   (8)


称为m元三角级数,其中2007112617jhaisacnmflkjg.gif,而n1,n2,…,nm为整数。假如ƒ(x)=ƒ(x1,x2,…,xm)关于每个变量xi(1≤i≤m)都是周期为2π的周期函数,且在立方体


Q:-π ≤xj≤π (j=1,2,…,m)   (9)


上,ƒ是勒贝格可积的。类似于(5),如果(8)中系数2007112618akshdcuiac.gif


2007112619jkjahsudchhacc.gif


那么称(8)为ƒ的傅里叶级数,并记为


2007112620acisduaihi.gif


多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质,但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题,却远较一元复杂。在中国,程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。

  傅里叶级数在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

  参考书目

  A. Zygmund,Trigonometric Series,Vol. 1~2, Cambridge Univ.Press,Cambridge,1959.

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