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  利用一定数学法则把地球表面的经、纬线转换到平面上的篱论和方法。

目录

发展简史

  地图投影最早用来编制天体图,用于编制地球表面的地图是始于公元前 3世纪的埃拉托色尼。他编制的以地中海为中心的当时已知世界的地图上应用了经纬线互相垂直的等距离圆柱投影。16世纪G.墨卡托创用正轴等角圆柱投影,编制了供航海用的世界地图。17~18世纪,地图投影逐渐具有现代的特点,并于实测地形图如西欧三角测量应用了卡西尼父子设计的投影;J.H.兰勃特提出等角投影的理论,并设计出等角圆锥、等面积方位和等面积圆柱投影;19世纪,由于军事制图的发展和地形测量的扩大,地图投影主要保证大比例尺地图的数学基础。德国C.F.高斯设计提出横轴等角椭圆柱投影(高斯投影),后经德国J.克吕格尔对投影公式加以补充,称之为高斯-克吕格尔投影。19世纪末期以后俄国和苏联一些学者对投影作了较深入研究。П.Л.切比雪夫、Н.я.青格尔、Ф.Н.克拉索夫斯基和В.В.卡夫赖斯基等人,分别对圆锥投影常数的确定提出新见解;Н.А.乌尔马耶夫撰写《新投影探求法》和《数学制图学研究》,书中提出根据已知变形分布推求新投影的方法、利用数值法求出投影坐标的新方法。20世纪60年代以来,美国等国学者提出空间投影、变比例尺地图投影和多焦点地图投影,为人造地球卫星等提供了所需的投影。中国自20世纪50年代以来对地图投影也作了较深入研究,提出了双重方位投影、双标准经线等角圆柱投影等新投影法;出版了不少地图投影用表集;为适应计算机辅助地图制图的需要,提供了不少地图投影的变换方法。

投影方法和实质

  地图投影的建立系假定有一个投影面(平面、可展的圆锥面或圆柱面)与投影原面(地球椭球面)相切、相割或多面相切,如图1所示。用某种投影条件将投影原面上的地理坐标点一一投影到平面坐标系内,即构成某种地图投影。其实质是将地球椭球面上地理坐标(φ、λ)转化为平面直角坐标(x、y)。它们之间的数学关系式为: 式中f1、f2为函数。

x=f1(φ、λ);y=f2(φ、λ)

投影变形

几种投影面与地球切割示意图
变形椭圆示意图
  

  地图是一个平面,而地球椭球面是不可展的曲面,把不可展的曲面上的经纬线网描绘成平面的图形,必然会发生各种变形。这就使地图上不同点位的比例尺不能保持一个定值,而有主比例尺和局部比例尺之分。通常地图上注明的比例尺系主比例尺,是地球缩小的比率,而表现在不同点位上的实际比例尺称之为局部比例尺。地图投影的变形,有角度变形、面积变形和长度变形。但不是所有投影都有这3种变形,等角投影就没有角度编形,等面积投影就没有面积变形,其他投影这 3种变形都同时存在。了解某种投影变形的大小和分布规律,才能明确它的实际应用价值。地图投影的变形可用变形椭圆形象地来解释。变形椭圆是地球椭球面上以一点的半径为单位值的微分图,投影在平面上一般是一个微分椭圆。用它可以解释投影变形的特性和大小。

  图2中0栏表示投影中只有个别点或线上能保持主比例尺。1栏表示变形椭圆长、短半径a和b同时长于或短于实地的r,但a=b,因此形状没有变化。2栏表示a、b中的一个等于1,另一个不等于1,因此形状有变化。3栏表示a、b都不等于1,但它们之间保持有一定的关系,即a=1/b,或ab=1,因此形状变了,但面积没有变化。4栏里的形状和面积均发生了变化。任何地图投影的变形性质,必属于图2中的某一栏。

方位投影、圆柱投影和圆锥投影的正轴、横轴和斜轴情况
斜影等面积方位投影的中国全图
双轴准纬线等角圆锥投影的中国大陆图
高斯-克吕格尔投影
  

投影分类

  地图投影大都按投影的变形性质或正常位置下投影的经纬线形状进行分类的。按投影变形的性质,地图投影分为:①等角投影。因a=b,所以这种投影保持小面积图形与实地相似,或者说两个方向之间的夹角大小投影后保持不变。②等面积投影。因abπab=π, 而实地微分圆面积πr2=π(因r =1),两者相等,所以投影后面积不变。③任意投影。凡不属于等角投影或等面积投影都可称之为任意投影,其中a或者b等于1的投影称耶为等距离投影。等距离投影能保持一定方向上线段的长度不变。

  按正常位置下经纬线形状,地图投影分为:①方位投影。纬线投影为同心圆,经线投影为同心圆的半径,两经线间的夹角与相应的经差相等。②圆柱投影。纬线投影为一组平行直线,经线投影为一组与纬线正交的平行直线,其间隔与相应的经差成正比。③圆锥投影。纬线投影为同心圆弧,经线投影为同心圆弧的半径,两经线间夹角与相应的经差成正比。此外,地图投影还有正轴、横轴和斜轴之分,并有切割的区别(图3)。

常用投影

  ①高斯-克吕格尔投影。这种投影(图4)假想有一个椭圆柱套在地球椭球的外面,并与某一子午线相切(此子午线叫中央子午线),椭圆柱的中心轴通过地球椭球的中心,然后用等角条件(a=b),将中央子午线东西两侧各一定经差范围的地区投影到椭圆柱面上,将柱面展成平面即成。这种投影在高纬度地面精度较好,在低纬度地区精度较差。②斜轴等面积方位投影(图5), 常用于中国全图。③双标准纬线等角圆锥投影(图6),宜用于仅表现中国大陆部分。④等差分纬线多圆锥投影,常用于世界地图。⑤正轴方位投影,常用于两极地图。      参考书目

  吴忠性编著:《地图投影》,测绘出版社,北京,1980。

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