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  形如x+iy的数,其中x和y是实数,i是虚数单位(即满足关系i2=-1的数),也可记作2007111501uuuuuuuum.gif

  复数是16世纪人们在解二次、三次代数方程时引入的。在历史上,它们长期不为人们所接受,直到19世纪,才阐明了复数的概念,阐明了它们是从已知量确定出的数学实体。复数的一般形式是z=x+iy,其中x和y分别称为z的实部和虚部,记作x=Rez和y=Imz。如果Imz=0,那么 z=Rez是实数;如果Imz≠0,那么z称为虚数;如果Imz≠0而Rez=0,那么z称为纯虚数。两复数z1和z2相等就是其实部及虚部分别相等,记作z1=z2

  在平面上取直角坐标轴Ox和Oy,以坐标为(x,y)的点表示复数z=x+iy,于是Ox轴上的点表示实数,Oy轴上的点(z≠0)表示纯虚数(见图1)。20071115ioejiofjajdf.jpgOx轴和Oy轴分别称为实轴和虚轴;Oxy平面称为复平面,或者按表示复数的字母称它为z平面。

  复数也可用在实轴及虚轴上的投影分别是x及y的向量表示,其起点可安放在平面上任一点,例如在原点。向量z=x+iy的长称为复数z的模,记作|z|,显然2007111502iiiiio.gif。实轴的正向与向量 z(z≠0)之间的夹角称为复数的辐角,记作Argz;Argz有无穷多个值,其中每两个相差2π的整数倍;在-π与+π之间的值称为Argz的主值,记作argz。于是z可用三角表示式表示为 z=|z|(cos Argz+isin Argz),或记作2007111503yyyyyyp.gif

  设全体复数所构成的集为C 。复数的加法和乘法定义为

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式中x1,x2,y1,y2是实数。在C上引进这两种运算,不难证明它构成一个域,称为复数域。复数域C包含实数域R,但前者不是有序域,即任意两复数不能比较大小。

  在复平面上,约定有一个无穷远点,以∞表示。加上无穷远点的复平面,称为扩充复平面。为了作出∞的几何表示,可把复数表示在球面上(见图2)。20071115oivjaiofjiejadl.jpg

  在点坐标是(x,y,u)的三维空间中,把Oxy平面看作就是z=x+iy平面。考虑球面

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  取定球面上一点N(0,0,1),称为球极,作连接N与Oxy平面上任一点A(x,y,0)的直线,并且设这直线与球面的另一交点是A┡,那么A┡称为A在球面上的球极射影。用它表示复数

z=x+iy。

如果点z的模愈大,那么它的球极射影愈接近N。约定N是无穷远点的球极射影,这样,在球面与扩充复平面之间建立了同构。这种球面称为复球面或黎曼球面。

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