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symmetry and conservation law

 对称性是物质的状态和运动规律在对称变换(如镜面反射转动等)下的性质。它已成为物理学中一个最普遍而深刻的观念。

  对称性的观念是人们在观察自然界各种事物的几何形状时逐步形成的。一个球在围绕通过中心的任何轴转动时,都不改变它的形状,称它具有转动变换的对称性。在观察晶体时,可以看到各种规则的多而体,经过一定面的镜面反射或是绕特定轴转动特定角度,不改变它们的几何形状,显示了各种对称的组合。按照对称方式的不同,可以把晶体分为32类,如果再考虑磁性,还可以找到58类不同的晶体对称方式;总共有90类磁性晶体的对称方式。

  接连几次对称变换仍然是一个对称变换,这些对称变换之间满足结合律。而且存在恒等变换和对称变换的逆变换。因此对称变换的总和构成一个对称群。在一个群的所有对称变换下不变或协变的状态(或运动规律)具有这个群的对称性。例如球具有转动群的对称性。

  如果物质的运动规律具有某一连续变换群的对称性,同时它的能量最低的状态(基态或真空态)是对称的,那么与这个群的每一个生成元对应的物理量都会是一个守恒量。物质的运动形态可以千变万化,不断转化,而反映它们共性的守恒物理量将始终不变。守恒定律是物质运动过程中所必须遵守的最基本的法则。

  最普遍的对称性是时空几何对称性和量子力学的代数对称性。所有的物质都在时空中运动,在不同时间和地点重复相同的实验反复证明了,对一个与周围物质切断了相互作用的孤立的系统,时空坐标原点的选取和坐标轴方向的选取都不会影响这一系统的运动规律。时空表现为均匀和各向同性的。坐标系原点的平移和坐标轴的转动都是对称变换,它们构成非齐次洛伦兹群,又称庞加莱群。在庞加莱群中,与平移生成元对应的物理量为能量动量矢量,与转动生成元对应的物理量为角动量。能量、动量守恒以及角动量守恒与时空均匀性和各向同性直接相关,它不依赖于物质的具体内容。不论是微观的还是宏观的,是粒子还是场,所有在均匀和各向同性的时空中运动的物质都必须遵守能量、动量和角动量的守恒律。

  一个自由运动的微观粒子,不受其他粒子相互作用的影响,它的内部性质由与对称群相联系的守恒量来描写,而与时空相关的特性,则由对称群的不变量来描写。粒子的能量、动量和角动量虽然都是守恒量,但它们不是洛伦兹群的不变量,当坐标系进行洛伦兹变换时,在相对作匀速直线运动的不同坐标系上观测粒子的能量、动量和角动量会得到不同的数值。但是粒子的质量和它的总自旋则是洛伦兹群的不变量。只有用不变量才能准确地对微观粒子和时空相关的性质进行分类。

  量子系统的状态由复数波函数来描写,它的运动服从海森伯方程或薛定谔方程。对量子力学的运动规律,通过复数共轭可将粒子和反粒子联系起来,形成电荷共轭的变换,但它不是一个严格的对称变换,在弱相互作用中,它遭到了破坏(见C 宇称)。

  最重要的量子力学代数对称变换是多个相同粒子之间的交换。这个对称变换群是分立的置换群。交换的对称性与所有已知的粒子分为玻色子费密子两大类这一实验事实密切相关。玻色子的波函数在粒子交换下是完全对称的,具有整数自旋,满足玻色-爱因斯坦统计;而费密子的波函数在粒子变换下是全反对称的,具有半整数自旋,满足费密-狄喇克统计。

  量子力学状态常常显示几何的特征形态,例如在库仑场中运动的电子具有球谐函数的对称性。处于同一量子态的系统是全同的。两个或多个全同的子系统(如原子)构成一个总系统(如分子)时,交换的对称性使得总系统的量子态成为全对称的或是全反对称的。这种全同性的效应是各种多体现象得以发生的重要原因。例如只有电子的全同性和它的波函数的全反对称性才能解释元素周期表的排列,而4He的全同性和它波函数的全对称性则是超流动性发生的根本原因(见全同粒子)。

  除了对每一种物质都适用的普遍对称性外,一些特定的物质形态有它自身独有的对称性。例如晶体的对称性,对不同的晶体是不同的。又如夸克(见强子结构)有SU(3)色群的对称性,而轻子就没有[见SU(3)对称性]。现在已经知道的对称性都列在表1中,其中给出了对称群和相应的守恒量。

各种形式的对称性及其相关的守恒律

  现在已经观察到的有四种基本的相互作用力,它们是强相互作用电磁相互作用、弱相互作用和引力相互作用。此外,理论上在解释实验中观察到的很弱的CP破坏现象(即不具有电荷共轭和空间反射联合变换不变性的现象)时,也常假定它是由一种超弱相互作用引起的,不过至今尚无定论。相互作用的强弱是一个相对的概念,随着观察的距离和能量的不同,各种相互作用的相对强弱也会发生变化。到了1011电子伏的能区,弱作用会变得与电磁作用差不多强,而到了1024电子伏时,很可能强、弱、电三种相互作用的强度都差不多。

  在低能区的现象中,作用较强的力常常具有更高的对称性,这种对称性遭到比较弱的作用力的破坏。例如核子的结合力具有同位旋的对称性,这就是说,质子和中子在同位旋空间的转动下互相转化,而核力具有在这一转动下的对称性。因此如果没有电磁和弱相互作用,单由核力不能区别质子和中子,它们的电荷、质量以及其他种种差别都是由电磁和弱相互作用引起的。称同位旋是近似的对称性,它遭到电磁和弱相互作用的破坏。

  从上面的例子也可以看到,对称性反映不同物质形态在运动中的共性,而对称性的破坏才使得它们显示出各自的特性。如同建筑和图案一样,只有对称而没有它的破坏,看上去虽然很有规则,但同时显得单调和呆板。只有基本上对称而又不完全对称才构成美的建筑和图案。大自然正是这样的建筑师。当大自然构造像 DNA这样的大分子时,总是遵循复制的机制,将分子按照对称的螺旋结构联接在一起,而构成螺旋形结构的空间排列是全同的。但是在复制过程中,对精确对称性的细微的偏离就会在大分子单位的排列次序上产生新的可能性,从而使得那些更便于复制的样式更快地发展,形成了发育的过程。由此可以看到,对称性的破坏是事物不断发展进化、变得丰富多彩的原因。

  在近似对称变换中,改变空间、时间轴方向的宇称P、时间反演T以及电荷共轭C,占有重要的地位。理论上预言宇称P和电荷共轭C在弱相互作用中遭到破坏的是李政道杨振宁,而在实验中证实它的是吴健雄,他们三人都是中国血统的科学家。对有洛伦兹群对称性的定域相互作用,虽然P、T或C遭到破坏,乘积CPT总是一个对称变换。实验表明,时间反演T和CP的破坏程度比C和P的破坏程度要弱得多,但它也可能由强作用真空态的性质所引起,这是一个尚未完全认识清楚的问题。

  上面说过,粒子的内部特征由守恒量描写。如果粒子在产生时所带有的强相互作用守恒量的特征在随后的运动过程中为弱相互作用所破坏,就会发生复杂的物质转化现象。一个有名的例子是K0和噖0介子的系统。噖0介子在强相互作用下是K0的反粒子,它们具有相反的奇异数。但是,弱相互作用破坏了电荷共轭和奇异数的守恒,因而K0和噖0介子变得可以互相转化。事实上通过强相互作用产生出来的噖0介子一产生之后,就会由于弱作用而形成寿命互不相等的KS和KL介子, 它们都是由K0和噖0介子共同组成的状态。经过一段时间,短寿命的Ks介子差不多全部衰变,剩下的几乎全都是长寿命的KL介子,而在剩下的KL介子中,大约一半的成分竟是原先产生噖0时并不存在的K0介子!

  所有的粒子都是相应的场的量子,所以可以说,物质的基本形态是场。场量在所有的时空点都存在,如果场的对称变换是在时空所有点上一齐进行的,这样得到的对称性为整体对称性;如果在时空的每一点独立地进行对称变换,则所得到的对称性称为定域对称性。

  连续的整体对称导致守恒流,满足守恒方程,如电流守恒方程。守恒流是四维时空的矢量,它沿时间轴的分量称为荷密度。荷密度对三维空间的积分是一个守恒量,称为守恒荷,它不随时间变化。场的能量、动量、角动量以及电荷等都是相应的整体对称性的守恒荷。

  可以同时测量的守恒量构成物质的状态参量组。由于守恒律,物质运动变化过程中存在选择定则,只有在相同守恒量的状态之间可以进行转化。例如电荷为 e的状态不会转变成为电荷为2e的状态。

  一般还存在与状态参量不能同时测量的守恒量和对称变换,它们把两个状态的运动联系起来。在这种对称变换中最重要的一个是时间反演,它把沿时间前进的运动过程与它的逆过程联系起来。它虽是一个近似的对称变换,但对绝大多数过程,已是一个足够好的对称变换,它导致正过程和逆过程之间的细致平衡,并由此导出输运系数之间的对称关系,成为非平衡统计力学的基础。但是,现在还未彻底明了,为什么微观可逆的力学规律一定导致宏观不可逆的统计力学。

  最早发现的定域对称性是电磁场的规范对称性。不同时空点上独立进行的对称变换只有通过由规范场表示的平行移动才能互相进行比较和联系。因此,定域对称性要求质量为零的矢量规范场(例如电磁场)的存在,这是它区别于整体对称性最显著的特点。与电磁场对应的对称群是阿贝耳U(1)群,它只有一个生成元,对应一个矢量规范场。杨振宁和R.L.密耳斯最早把定域对称的观念应用于非阿贝耳群,得到杨-密耳斯规范场。非阿贝耳规范场有很多独特的性质。与电磁场不一样,它传递的作用力随着距离的减少越来越弱,形成所谓渐近自由的现象。同时,随着距离的增加,很可能相互作用越来越强,而产生所谓禁闭的现象。现在大多数物理学家都猜测物质世界的四种基本相互作用力无一例外地都是由规范场传递的。

  场量和连续介质的状态参量一般有多个分量,组成一个矢量空间,叫做场量空间。场量作为时空点的函数,可以看作时空流形到场量空间的映像。这个映像可以按照场量任意连续变化下的拓扑不变性质进行分类,这样得到在最一般的连续变化下的对称性质,相应的守恒量是拓扑荷。已经知道,非阿贝尔规范场的真空具有不平凡的拓扑性质,形成θ真空,它可能引起时间反演T和CP不守恒。

  在场论和凝聚态物理中,有很多有限大小的孤立子结构,例如磁涡线(见第二类超导体)、磁单极子等等,它们有不平凡的拓扑性质。拓扑数的守恒使得具有最小拓扑数的单个孤立子在运动过程中成为稳定的粒子。拓扑性孤立子的存在和冻结是许多系统由有序态到无序状态相变的原因。

对称性的自发破缺

  对称性显示物质世界的统一性,对称性的自发破缺则显示了它的多样性。

  有两种对称破缺的方式。一种是上面讨论过的明显的对称破缺,它是由较弱的相互作用不具有这种对称性而引起对较强的相互作用的对称性的破坏。在这种情况下,作为整体,对称性是近似的,它只有在可以忽略较弱相互作用的过程中才近似地成立。

  另一种更重要的对称破缺方式称为对称性的自发破缺,这时描写系统动力学的拉格朗日量具有对称群G的对称性,但是能量最低的真空态或基态不只一个,而是一组互相不能穿透的退化的状态,形成群G的表示。由于真空态(基态)影响到在其上运动着的一切事物,一旦真空态已经确定在一个特定的状态上,群G的对称性就受到了破坏。例如磁铁在居里点以下显示出铁磁性,它的磁矩指向特定的方向。虽然磁铁的拉格朗日量是各向同性的,具有转动群的对称性,但基态不只一个,相应于磁矩可以指向空间不同方向。当磁铁由于某种原因已经选定了一个磁矩的特殊方向,在这块磁铁上发生的现象就不再是各向同性的了,这时我们说转动群的对称性产生了自发破缺。

  常常从退化的基态中具体实现的状态仍然具有 G群的子群H的对称性。例如磁矩指向z轴方向时,磁铁仍然可以具有围绕z轴转动的对称性。因此对称性只在G群除以H群得到的H的陪集G/H上产生了自发破缺。

  如果对称群G是连续变换群,它的生成元有nG个,则当整体对称性在陪集G/H上产生自发破缺时,必然要伴随产生 nG-nH个能量随动量同时趋于零的振荡模式, 其中nH为H群的生成元个数。对相对论性系统来说,内部整体对称性的自发破缺所产生的这种振荡相应于静止质量为零的标量粒子,称为戈德斯通粒子。π 介子的质量虽不为零,但它的性质非常接近戈德斯通粒子,很可能是由于近似整体对称性自发破缺而形成的。

  如果定域的连续对称性产生自发破缺,系统中就不再出现静止质量为零的戈德斯通粒子,而在陪集G/H方向上的nG-nH个规范场将获得静止质量。这时静止质量为零的戈德斯通振荡模将与静止质量为零的规范场合并起来,组成带有静止质量的矢量场,戈德斯通振荡模构成这一矢量场的纵向分量。这一现象称为黑格斯机制

  差不多所有的二级相变都与对称性的自发破缺有关。例如,铁磁在居里点以下破坏了整体的转动对称性,相应的戈德斯通振荡是自旋波;超导电性破坏了电磁的规范对称性,相应的光子(规范场)在超导体内获得静止质量,产生了排斥磁场的迈斯纳效应。在粒子物理中,强、电磁和弱相互作用在低能区强度相差很大,但它们很可能是具有共同的非阿贝耳规范群对称性的系统,经过对称性的自发破缺和黑格斯机制后而形成的。

  明显的对称破缺的方式不依赖于系统所处的状态,而对称性的自发破缺则依赖于系统的状态。随着某些条件(例如温度)的变化,处于对称性自发破缺状态的系统常常可以通过相变过渡到对称的状态,例如铁磁和超导在临界温度以上都恢复到对称的状态。

  构成今天世界的粒子很可能处于对称性自发破缺的相中,它们的质量和相互作用都由这个相决定。在早期宇宙发展过程中,世界很可能处于高度对称的状态,那时粒子的性质可能与今天观察到的很不相同,宇宙经过冷却和相变才达到今天的样子。

  在最近的粒子物理实验中,发现夸克和轻子之间很可能有一种对称的对应关系。这促使人们猜测,它们可能是同一种粒子经过对称性的自发破缺而形成的。在这种猜测中,质子可能是不稳定粒子,它的寿命虽然很长(塼1032年), 但有可能是有限的,会衰变为轻子和介子。现在正在积极地测定质子的寿命,如果得到实验的证实,这将是粒子物理的又一次重大突破。

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