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  一种特殊的函数逼近方式。强性逼近的概念起源于数项级数的强性求和。设有级数2007112801rrc.gif,记其前n+1项之和为 2007112802rrx.gif。 如果存在正数p以及常数S适合2007112803rrz.gif 2007112804ttq.gif,则说2007112805ttw.gif关于指数p强性可和,和是S。如果0<p┡<p,级数2007112826tte.gif关于指数p强性可和,则它关于指数 p┡也强性可和。假设ƒ(x)是有周期2π 的连续函数,Sn(ƒ, x)为其傅里叶级数之前n+1项之和,则对于任何给定的正数p,都有2007112807ttr.gif,这里2007112808ttt.gif。这是早期的结论。20世纪60年代初,G.亚历克西茨首先提出n趋于无穷时,量

2007112809tty.gif

的阶与函数ƒ(x)的构造性态之间的关系问题,这就是所谓强性逼近问题。强性逼近的许多有趣的结果,常常表现出一些逼近定理都有可能强化。例如,对于ƒ∈Lipα(即满足条件:2007112810ttu.gif)的ƒ(x)的全体,L.费耶尔和的逼近定理就可强化为

2007112811tti.gif

而瓦莱-普桑和的逼近定理则可强化为

2007112812tto.gif

式中сp是仅与p有关的正数,E奱(ƒ)为阶不超过n的三角多项式对ƒ的最佳逼近值。对于反问题,则成立如下的不等式:

  p≥1时,

2007112813ttp.gif

  0<p<1时,

2007112814ttl.gif
2007112815ttk.gif

特别,若r是非负整数,0<α<1,β>(r+α)p,则

   2007112816ttj.gif等价于2007112817tth.gif∈Lipα。

  强性逼近的另一问题是对于正数序列{λk},研究级数2007112818ttg.gif的收敛性所蕴涵着的 ƒ的构造性态。简单的结论是:当p>1时,

2007112819ttf.gif

  (*)蕴函2007112820ttd.gif,但p=1时不成立。当0<p≤1时,记2007112821tts.gif,r为正整数,0≤α<1;则当0<α<1时,(*)蕴涵2007112822tta.gif∈Lipα,α=0时,(*)蕴涵2007112823ttm.gif为亚光滑函数,即有常数с>0,使得2007112824ttn.gif对一切x与h都成立。

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