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发展史

  
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由于费马笛卡儿的工作,线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末,线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱,在十九世纪下半叶,因若当的工作而达到了它的顶点.1888年,皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中.线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理,即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域,这就引向模的概念,这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。

  “代数”这一个词在我国出现较晚,在清代时才传入中国,当时被人们译成“阿尔热巴拉”,直到1859年,清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”,一直沿用至今。

在数学中的地位

  线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。

  主要理论成熟于十九世纪,而第一块基石(二、三元线性方程组的解法)则早在两千年前出现(见于我国古代数学名著《九章算术》)。

  ①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用,因而它在各种代数分支中占居首要地位;

  ②在计算机广泛应用的今天,计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分;。

  ③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系,从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等,对于强化人们的数学训练,增益科学智能是非常有用的;

  ④随着科学的发展,我们不仅要研究单个变量之间的关系,还要进一步研究多个变量之间的关系,各种实际问题在大多数情况下可以线性化,而由于计算机的发展,线性化了的问题又可以计算出来,线性代数正是解决这些问题的有力工具。

基本介绍

  线性(linear),指量与量之间按比例、成直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数;非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数。

  线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里,一个向量是一个有方向的线段,由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量,比如力,也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

  现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量,这样的向量(即 n元组)用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组,向量是 n个元素的“有序”列表,大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如,在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8个国家的国民生产总值(GNP)。当所有国家的顺序排定之后,比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度,澳大利亚),可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的GNP。这里,每个国家的 GNP 都在各自的位置上。

  作为证明定理而使用的纯抽象概念,向量空间(线性空间)属于抽象代数的一部分,而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有:不可逆线性映射或矩阵的群,向量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色,特别在 向量分析中描述高阶导数,研究张量积和可交换映射等领域。

  向量空间是在域上定义的,比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间(也可以是同一个线性空间),保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的,所有线性变换都可以表示为一个数表,称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究(包括行列式特征向量)也被认为是线性代数的一部分。

  我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。

  线性代数方法是指使用线性观点看待问题,并用线性代数的语言描述它、解决它(必要时可使用矩阵运算)的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。

重要定理

  ·每一个线性空间都有一个基。

  ·对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A,如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E(E是单位矩阵),则 A 为非奇异矩阵。

  ·一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。

  ·一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

  ·一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

  ·一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

  ·解线性方程组的克式定理。

  ·判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。

一般化和相关主题

  线性代数是一个成功的理论,其方法已经被应用于数学的其他分支。

  ·模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。

  ·多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题,从而产生了张量的概念。

  ·在算子的光谱理论中,通过使用数学分析,可以控制无限维矩阵。

  所有这些领域都有非常大的技术难点。

课程内容

  一、课程的性质与任务

  线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课,它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天,使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习,要使学生获得:

  1、行列式

  2、矩阵

  3、向量组的相关性、矩阵的秩

  4、线性方程组

  5、相似矩阵与二次型

  等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

  在传授知识的同时,要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。

  二、课程的教学内容、基本要求及学时分配

  (一)教学内容

  1、行列式

  (1) n 阶行列式的定义

  (2)行列式的性质

  (3)行列式的计算,按行(列)展开

  (4)解线性方程组的克莱姆法则

  2、矩阵

  (1)矩阵的概念、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵

  (2)矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律

  (3)逆矩阵概念及其性质,用伴随矩阵求逆矩阵

  (4)分块矩阵的运算

  3、向量

  (1)n 维向量的概念

  (2)向量组的线性相关、线性无关定义及其有关定理,线性相关性的判别

  (3)向量组的最大无关组、向量组的秩

  (4)矩阵的秩的概念

  (5)矩阵的初等变换,用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵

  (6)n 维向量空间及子空间、基底、维数、向量的坐标

  4、线性方程组

  (1)齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件

  (2)线性方程组的基础解系、通解及解的结构

  (3)非齐次线性方程组有解的条件及其判定,方程组的解法

  (4)用初等行变换求线性方程组的通解

  5、相似矩阵与二次型

  (1)矩阵的特征值与特征向量及其求法

  (2)相似矩阵及其性质

  (3)矩阵对角化的充要条件及其方法

  (4)实对称矩阵的相似对角矩阵

  (5)二次型及其矩阵表示

  (6)线性无关的向量组正交规范化的方法

  (7)正交变换与正交矩阵的概念及性质

  (8)用正交变换化二次型为标准形

  (9)用配方法化二次型为平方和,二次型的规范形

  (10)惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别

  (二)基本要求

  1、理解 n 阶行列式的定义,会用定义计算简单的行列式

  2、熟练掌握行列式的基本计算方法和性质

  3、熟练掌握克莱姆法则

  4、理解矩阵的定义

  5、熟练掌握矩阵的运算方法和求逆矩阵的方法

  6、理解向量相关性的概念,会用定义判定向量的相关性

  7、掌握求矩阵秩的方法,理解矩阵秩与向量组的相关性之间的关系

  8、理解向量空间的概念,会求向量的坐标

  9、熟练掌握用初等变换求矩阵秩、逆矩阵,解线性方程组

  10、熟练掌握线性方程组的求解方法,知道线性方程组的简单应用

  11、熟练掌握矩阵特征值、特征向量的求法

  12、掌握相似矩阵的概念,矩阵对角化的概念

  13、熟练掌握用正交变换化二次型为标准型的方法

  14、理解二次型的惯性定理,会用配方法求二次型的平方和

  15、掌握二次型正定性概念及应用

  MATLAB

  本身是一种编程语言,可作为工科线性代数的教学软件,为国内外许多大学教材所引进。

教材推荐

线性代数(同济3版)

  出版社:高等教育出版社

  装帧:平装

  ISBN:9787040069877

  类别:教育/科技

  标价:¥9.60元

  简介:

  本书第三版仍由同济大学数学教研室骆承钦教授承担修订工作。

  这次修订,在第1章增加了二阶与三阶行列式;第2章增加了少量关于矩阵及其运算的实际背景的内容;第3、4两章的理论体系作了彻底更换。新的第3章先引进矩阵的初等变换和秩的概念,然后解决了线性方程组的求解问题。新的第4章讨论向量组的线性相关性,由于有了矩阵和线性方程组的理论,致使这一讨论大为简化。第5、6两章也不同程度地对定理的表述和论证有所加强,对便题、习题有所增加或修改,使本教材更接近于基本要求,更适宜于教学。

  本书内容为:行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换等六章,书末附有习题答案。本书可供高等工业院校各专业使用,也可供科技工作者阅读。

  

线性代数(北航2版)

  作 者:高宗升,周梦,李红裔 

  出版社北京航空航天大学出版社

  出版时间: 2009-9-1

  ISBN: 9787811248944

  开本: 16开

  定价: 28.00元

  内容简介:本书是为理工科大学(非数学专业)本科生编写的线性代数教材。全书共分9章,主要内容有:行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、矩阵的相似变换、二次型、线性空间、线性交换以及线性代数的一些应用。各章后均附有适量的习题,书后附有习题答案。

  本书难易适度,结构严谨,重点突出,理论联系实际;特别注重学生对基础理论的掌握和思想方法的学习,以及对他们的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想像能力和自学能力的培养。

  本书不但可作为理工科大学本科生的线性代数教材,也可作为高等教育自学考试教材及考研参考书,还可供有关教师和工程技术人员参考。

   中国科大精品教材 线性代数(第2版)

  作 者: 李炯生,查建国,王新茂编著

  出 版 社: 中国科学技术大学出版社

  出版时间: 2010-1-1 字数: 560000 版 次: 2 页数: 447 印刷时间: 2010-1-1 开本:16开 印次: 3 纸张: 胶版纸 I S B N : 978731

  2022982

  内容简介 本书是作者在中国科学技术大学数学系多年教学的基础上编写成的。它由多项式、行列式、矩阵、线性空间、线性变换、Jordan标准形、Euclid空间、酉空间和双线性函数等九章组成。在内容的叙述上,力图做到矩阵方法与几何方法相并重,每章都配有丰富的典型例题和充足的习题。

  本书适合作为综合性大学理科数学专业的教材,也可以作为各类大专院校师生的教学参考书,以及关心线性代数与矩阵论的科技工作者的自学读物或参考书。

线性代数(机械工业出版社)

  基本信息

  
作 者: 李洵吴美云,周小建 编

  出 版 社: 机械工业出版社

  出版时间: 2010-2-1

  页 数: 170

  印刷时间: 2010-2-1

  I S B N : 9787111296102

  内容简介

  本书主要学习对象为普通高校(三本和民办独立学院)的本科学生。本书以线性方程组为研究工具贯穿全书,系统地介绍了线性方程组、矩阵、行列式、向量组的线性相关性、特征值和特征向量、二次型等线性代数知识。在每章后配有自测题。本书针对学生特点,遵循学生的认知规律,着重于原理、计算和应用,适当减弱理论证明。采取通俗易懂、循序渐进、分散难点的处理方法,起点低,有适当坡度,以利于教学。

  本书适用于32-40学时的线性代数课程教学。

  图书目录

  前言

  第1章 矩阵的概念与消元法

  1.1 矩阵的概念

  1.2 矩阵的初等行变换

  1.3 消元法解线性方程组

  第1章自测题

  第2章 矩阵的运算

  2.1 矩阵的基本运算

  2.2 分块矩阵及其运算

  2.3 可逆矩阵

  2.4 矩阵的初等变换与初等矩阵

  第2章自测题

  第3章 行列式

  3.1 二、三阶行列式

  3.2 n阶行列式的定义

  3.3 行列式的性质

  3.4 克拉默法则

  3.5 方阵的行列式

  3.6 矩阵的秩

  第3章自测题

  第4章 向量组的线性相关性

  4.1 n维向量组及其运算

  4.2 向量组的线性相关性

  4.3 向量组的极大无关组和秩

  4.4 线性方程组解的结构

  4.5 向量空间与欧氏空间简介

  第4章自测题

  第5章 相似矩阵与二次型

  5.1 特征值与特征向量

  5.2 特征值和特征向量的求法与矩阵的对角化

  5.3 实对称矩阵的对角化

  5.4 二次型及其标准形介绍

  第5章自测题

  部分习题参考答案

  参考文献

线性代数(河北理工版)

  

商品介绍

  本书是依据国家教育部审定的本科“线性代数课程教学的基本要求”

  编写的。全书共6章,其内容包括矩阵与行列式、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、矩阵的相似对角化、二次型以及数学软件(Mathenlatica)在线性代数中的应用等。本书的编写力求引进概念自然浅显,定理证明简明易懂,例题选取典型适当,应用实例背景广泛,使难点分散,便于教学,充分体现具体一抽象一具体的辩证思维过程。每节配有思考题,每章后均有3个层次的适量习题,书末附有答案。本书可作为培养应用型人才的高等院校工程类、经济管理类各专业的教材,也可作为科技工作者或其他在职人员的自学用书。

编辑推荐

  本书是依据国家教育部审定的本科“线性代数课程教学的基本要求”编写的。编写力求引进概念自然浅显,定理证明简明易懂,例题选取典型适当,应用实例背景广泛,使难点分散,便于教学,充分体现具体-抽象-具体的辩证思维过程。每节配有思考题,每章后均有3个层次的适量习题,书末附有答案。

  商品参数作者:徐秀娟 编

  出版社:科学出版社

  出版日期:2007-08

  ISBN:703019547

  版次:1版

  包装:平装

  开本:16开

  页数:196页

  字数:293千

  印张:1次

  作者简介作者姓名:徐秀娟

  相关作品:《线性代数》 《无公害花生安全生产手册》 《机械制图》 《互换性与测量技术》 《中国花生病虫草鼠害》《线性代数学习辅导》 《化工制图》 《化工制图习题集》

目录

  第1章 矩阵与行列式

  1.1 矩阵及其运算

  1.1.1 矩阵的概念

  1.1.2 几种特殊的矩阵

  1.1.3 矩阵的线性运算

  1.1.4 矩阵的乘法

  1.1.5 方阵的乘幂

  1.1.6 矩阵的转置

  1.1.7 矩阵在实际问题中的应用

  1.2 n阶行列式

  1.2.1 n阶行列式的定义

  1.2.2 几种特殊的行列式及其值

  1.2.3 n阶行列式的性质

  1.2.4 n阶行列式的计算

  1.3 可逆矩阵

  1.3.1 可逆矩阵的概念

  1.3.2 矩阵可逆的充要条件

  1.3.3 逆矩阵的应用——克拉默法则的证明

  1.4 分块矩阵

  1.4.1 分块矩阵的概念

  1.4.2 分块矩阵的运算

  1.4.3 分块对角矩阵

  习题一(A)练习 理解

  习题一(B)思考 提高

  习题一(C)拓展 探究

  第2章 矩阵的初等变换与线性方程组

  2.1 矩阵的初等变换和等价标准形

  2.1.1 矩阵的初等变换

  2.1.2 矩阵的等价标准形

  2.2 初等矩阵

  2.2.1 初等矩阵的概念

  2.2.2 初等变换与初等矩阵的关系

  2.2.3 求逆矩阵的初等变换法

  2.3 矩阵的秩

  2.3.1 矩阵秩的概念

  2.3.2 矩阵秩的计算

  2.4 线性方程组的求解

  2.4.1 线性方程组的基本概念

  2.4.2 线性方程组解的判别

  2.4.3 线性方程组的应用举例

  习题二(A)练习 理解

  习题二(B)思考 提高

  习题二(C)拓展 探究

  第3章 向量组的线性相关性

  3.1 n维向量及其线性运算

  3.1.1 n维向量的概念

  3.1.2 n维向量的线性运算

  3.1.3 向量组及其线性组合

  3.1.4 向量组的等价

  3.1.5 向量组线性组合的应用

  3.2 向量组的线性相关性

  3.2.1 向量组线性相关与线性无关的概念

  3.2.2 向量组线性相关性的判定

  3.3 向量组的秩

  3.3.1 向量组的最大无关组与秩

  3.3.2 向量组的秩与矩阵的秩

  3.4 向量空间

  3.4.1 向量空间的概念

  3.4.2 向量空间的基与维数

  3.4.3 基变换与坐标变换

  3.5 线性方程组解的结构

  3.5.1 齐次线性方程组解的结构

  3.5.2 非齐次线性方程组解的结构

  习题三(A)练习 理解

  习题三(B)思考 提高

  习题三(C)拓展 探究

  第4章 矩阵的相似对角化

  4.1 向量的内积

  4.1.1 向量的内积

  4.1.2 正交向量组与规范正交基

  4.1.3 正交矩阵与正交变换

  4.2 方阵的特征值与特征向量

  4.2.1 特征值与特征向量的概念

  4.2.2 特征值与特征向量的性质

  4.3 矩阵可对角化的条件

  4.3.1 相似矩阵的概念与性质

  4.3.2 矩阵可对角化的条件

  4.3.3 矩阵的特征值与特征向量应用举例

  4.4 实对称矩阵的对角化

  4.4.1 实对称矩阵的特征值与特征向量

  4.4.2 实对称矩阵的对角化

  4.4.3 实对称矩阵相似对角化的应用举例

  习题四(A)练习 理解

  习题四(B)思考 提高

  习题四(C)拓展 探究

  第5章 二次型

  5.1 二次型及其标准形

  5.1.1 二次型的概念

  5.1.2 二次型的标准形

  5.2 化二次型为标准形

  5.2.1 用正交变换法化二次型为标准形

  5.2.2 用配方法化二次型成标准形

  5.2.3 用矩阵的初等变换法化二次型为标准形

  5.3 正定二次型

  5.3.1 正定二次型的概念

  5.3.2 正定二次型的判定

  5.3.3 二次型的应用举例

  习题五(A)练习 理解

  习题五(B)思考 提高

  习题五(C)拓展 探究

  *第6章 Mathematica在线性代数中的应用

  6.1 矩阵及其运算

  6.1.1 矩阵的输入与输出

  6.1.2 特殊矩阵的形成

  6.1.3 矩阵的运算

  6.2 矩阵的简化

  6.3 方程组的求解问题

  6.3.1 基本语句

  6.3.2 齐次线性方程组的求解

  6.3.3 非齐次线性方程组的求解

  6.4 矩阵的特征值、特征向量以及矩阵的对角化问题

  6.5 专题实验

  6.5.1 工资问题

  6.5.2 动物繁殖问题

  6.5.3 网络流问题

  6.5.4 生产总值问题

  6.5.5 化学方程式的配平问题

  6.5.6 基因问题

  习题参考答案

  习题一(A)

  习题一(B)

  习题一(C)

  习题二(A)

  习题二(B)

  习题二(C)

  习题三(A)

  习题三(B)

  习题三(C)

  习题四(A)

  习题四(B)

  习题四(C)

  习题五(A)

  习题五(B)

  习题五(C)

  参考文献

  ……

线性代数(第二版)

  作 者: 居余马
出 版 社: 清华大学出版社

  出版时间: 2002-9-1

  I S B N : 9787302055341

  包 装:

  所属分类: 图书 >> 自然科学 >> 数学 >> 代数 数论 组合理论

内容简介

  本书包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化,二次型及应用问题等内容。

目录

  1,行列式 2,矩阵 3,线性方程组 4,向量空间与线性变换 5,特征值和特征向量、矩阵的对角比 6,二次型 7,应用问题

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