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dispersion relation

  物理学中,从因果律出发(与其他原理相结合)得出的积分关系式的统称。色散关系作为因果律的推论,其主要思想可概括为:设外界对某一物理系统输入信号(或施加作用),作为反应,系统产生输出信号(或次级作用)。只要此系统具有下述性质:①其内部运动规律不随时间改变;②输入和输出按因果方式联系;③输出是输入的线性泛函,则可以求出此线性泛函的傅里叶变换的解析性质,进而得到可测量间的积分关系式──色散关系。

  在推导色散关系时,只用到因果律和其他一些普遍原理,而无需对系统内部运动规律或相互作用项作具体的说明或假定。所得色散关系式中都是可以直接与物理测量相联系的量。因此色散关系在物理学许多领域中获得广泛的应用。

  对色散关系的研究,从讨论经典电磁理论中电介质的折射率随电磁波频率的变化开始。由经典电子论得知,介质中的电磁波由入射波和从各散射中心发出的散射波相干叠加而成。一个合理的假定是认为这样的物理系统具有上面的三个性质。这时因果律体现在要求入射波碰到散射中心以前,散射波振幅为零。从这点出发得出介质折射率作为频率的函数的解析性质,导出了克喇末-克朗尼格公式,即介质折射率的色散关系式。它将折射率的实部用其虚部(即介质对电磁波的吸收系数)对频率的积分关系式表出。对于绝缘介质,这关系式两边都可以直接测量,曾经利用它研究了经典电子论中许多问题。后来M.盖耳-曼、M.L.戈德伯格等人进一步讨论了量子电动力学中的色散关系问题。

  量子场论和基本粒子理论中关于色散关系的研究,集中在20世纪50年代中期到60年代初期这一段时间。主要原因一方面是由于微扰理论不能用到强相互作用领域,人们亟待寻找新的可靠的方法;而另一方面是用色散关系研究问题时,只要求遵从一些普遍有效的原理,而无需对强作用动力学机制(相互作用拉格朗日量)作出具体的假定。这点非常适应于当时量子场论和基本粒子物理的发展状况,因而掀起了研究和运用色散关系的高潮。

  量子场论中散射振幅可表为场算符的推迟对易子在物理态间矩阵元的傅里叶变换式。通过运动学分析它又可分解成一些标量函数,可以认为它们是解析函数在其复数变量趋于实数轴时的边界值。利用微观因果性对场算符对易子的约束,讨论出散射振幅中这些标量函数的解析性质,并利用柯西定理,就可导出有关的色散关系。

  两粒子弹性散射振幅是粒子能量和动量转移的二元函数,一般的散射振幅是多元函数,如果固定或积分掉其他变量只留下一个变量(例如能量)变动,得到的关系称为单重色散关系式,以别于后来进一步假定散射振幅能同时对于两个变量(例如能量和动量)作解析延拓后,提出的曼德尔施塔姆表象或所谓双重色散关系。

  最简单的色散关系把向前弹性散射振幅的实部表示为正比于其虚部(与粒子散射过程的总截面相联系)的函数对能量的积分、对向前弹性散射色散关系的实验检验也检验了微观因果性。

  用色散关系研究强作用时,是将解析性与幺正性、谱条件、交叉对称性等相结合,使得到的许多物理过程的散射振幅相互联系,得出一组耦合的方程式。利用它们可以对强作用进行唯象分析。50年代中后期到60年代初期,用这种方法对于低能π介子及核子(N)的作用进行了大量研究,包括分析π-N散射实验数据,讨论它的(3,3)共振态的效应、估算π-π作用的影响,并由此研究了核子电磁形状因子、低能时在核子上的光生、电生 π介子等一系列问题。与此同时还利用色散关系讨论了散射过程的高能极限问题,得出了一些重要的结果,它们之中值得提出的是强作用中粒子和反粒子总截面在高能时趋于同一极限的坡密朗丘克定理和限定总截面随能量增长速率的弗鲁瓦萨尔上限。由于推导它们时只涉及到一些普遍有效的原理,因此这些结论被认为是正确、可靠的。

  配合色散关系研究的另一个影响,是促进了量子力学和量子场论中对于散射振幅(包括产生振幅)解析性的更加深入的研究,尔后在这种研究热潮中,提出了强作用唯象学中产生重要作用的雷其极点理论。

  60年代中后期,强作用理论研究主流之一是流代数,人们将色散关系与流代数结合后,又得出了一些重要的结果。这包括与矢量流守恒 (CVC)、轴矢流部分守恒(PCAC)有关的一些结果、阿德勒-韦斯伯格求和规则和其他一些低能定理等。

  关于量子场论中色散关系的证明问题,至今没有彻底解决。只有当体系中粒子质量满足一定的不等式而动量转移数值限定在一定范围内时,单重色散关系才能得到严格的证明。而对于双重色散关系,即使在微扰论的框架下,也只有某些特殊过程的散射振幅能满足曼德尔施塔姆表象中关于解析性的要求。

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