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  爱因斯坦狭义相对论的时空模型。物理学上称为闵科夫斯基时空,它是德国数学家H.闵科夫斯基为适应狭义相对论的需要而提出来的。一般说来,n 维的闵科夫斯基空间R2007112201wwq.gif是n维欧氏空间En的一个变种,和n维欧氏空间一样,R2007112202www.gif的基本几何元素是点和向量,其中照样有直线和各种不同维数的平面等几何图形。狭义相对论中采用的是四维时空R3,1

  R2007112203wwe.gif的任何两个向量l,m也有数量积l•m,一个向量也有其长度的平方l2=l•l,从而也有向量的正交性的概念,但和欧氏空间En的基本区别在于,在R2007112204wwr.gif中,若l 是非零向量,l2不常常是正的。更具体地说,在n 个相互正交的线性无关的单位向量组(e1,e2,…,en)中,有n-1个向量的长度平方为 +1,有一个向量的长度平方为-1。设其中e1,e2,…,en-1的长度平方为+1,而en的长度平方为-1,这样的(e1,e2,…,en)就称为标准正交基,参考于这一组基,向量l 和m可分别表示为

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则有

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长度平方为正的向量称为类空向量,长度平方为负的向量称为类时向量。此外,还有长度平方为零的向量,称为零长向量,或类光向量。以零长向量为方向的直线称为“光线”,过一点P 的光线的全体构成一个二次锥面,称为光锥。

  在闵科夫斯基空间中,把标准正交基{e1,e2,…,en}变到另一组标准正交基的线性变换A称为洛伦茨变换,洛伦茨变换所成的群称为洛伦茨群,记为O(n-1,1),参考于标准正交基,洛伦茨群的元素可用n×n阵A=(αij)表示,这里αij是由

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所定义的,如记

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那么洛伦茨群的元素所相应的阵满足

A*JA=J。

这里A*是A 的转置,所以洛伦茨群O(n-1, 1)也指满足A*JA=J 的n×n阵A的全体,一组标准正交基添上一个定点作为原点就构成R n-1,1的一个洛伦茨标架,参考于洛伦茨标架,可以得出R2007112211wwl.gif中的点P 的坐标(x1,x2,…,xn),变换

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称为非齐次的洛伦茨变换。据此,点P 的坐标从(x1,x2,…,xn)变为(x姈,x娦,…,xń)。它也可解释为同一标架下的点的变换。

  过一定点(2007112213wwj.gif12007112214wwh.gif2,…,2007112215wwg.gif4)的光锥的方程是2007112216eef.gif在任一非齐次的洛伦茨变换下,光锥仍变为光锥。

  和欧氏空间En一样,R2007112217wwd.gif有很丰富的几何内容,由于O(n-1,1)比正交群O(n)复杂得多,R2007112218wws.gif的几何学比En的几何学复杂得多。

  在古典的时空观念中,时间和空间是分立的,现实空间的模型是三维的欧几里得空间,时间是一维的数轴,两个事件的同时性是绝对的,也就是说,不论用什么方式去测量,两个事件的同时性是不可改变的,这种时空观念和牛顿力学十分协调,但和J.C.麦克斯韦的电磁场理论却不相协调,这因为,如令光速为常数,麦克斯韦方程是在洛伦茨变换下不变的,但洛伦茨变换会变更两个不在同一地点发生的事件的同时性,米切尔森-莫里实验指示了光速不因光源的运动速度而变化,使人们不得不去修正牛顿力学而导致了爱因斯坦狭义相对论的出现。

  在狭义相对论中,采取四维的闵科夫斯基时空为现实时空的模型,对于一个固定的惯性测量系统(即洛伦茨标架)来说,(x1,x2,x3,x4)表示一个时空点,说明一个事件在何时何地发生:x1,x2,x3表示位置,x4=сt表示时间(这里c为光速,是不变的正常数),在一点的光锥把以这点为始点的向量分为五类(见表200711220047iowjdfa.jpg)。

  粒子的运动可由R3,1中的曲线表示,称为世界线,它的切向量必须不是类空的,可规定它是指向未来的向量,如果它属于第Ⅰ类,则它的速度小于光速,如果它属于第Ⅱ类,它的速度等于光速。它不可能是属于第Ⅴ类的,意义是:粒子运动的速度不能大于光速。另一面,如果P 与P1是R3,1中两点,若向量捗属于第Ⅰ或第Ⅱ类,则P1必为P 的未来。若捗属于第Ⅲ、Ⅳ类,则P1必为P的过去。若2007112219wwa.gif属于第Ⅴ类,则必存在一个洛伦茨标架,使P 和P1具同时性。

  使Л4的符号不变的洛伦茨变换(非齐次)称为正常的。狭义相对论要求物理定律在正常洛伦茨变换下为不变的,J.C.麦克斯韦的电磁场理论已适合这个要求,而I.牛顿的经典力学作了修正之后,也能符合这个要求。

  由于运用了闵科夫斯基空间R3,1作为时空模型,爱因斯坦狭义相对论就有了很好的叙述方式,对于现代物理学的发展起了很大的作用。有了闵科夫斯基时空之后,爱因斯坦又进一步研究了引力场理论,即广义相对论,从而引入洛伦茨流形的概念,闵科夫斯基时空是曲率张量为0的洛伦茨流形,因而闵科夫斯基时空与欧氏空间均为平坦空间,而不是弯曲的。

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