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哥德巴赫猜想

  当年徐迟的一篇报告文学,中国人知道了陈景润哥德巴赫猜想。

  那么,什么是哥德巴赫猜想呢?

  哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家,生于1690年,1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被1和它本身整除的数)之和。如6=3+3,12=5+7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,提出了以下的猜想:

  (a)任何一个≥6之偶数,都可以表示成两个质数之和。

  (b)任何一个≥9之奇数,都可以表示成不超过三个的质数之和。

  这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如:6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 =3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13,……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。

  从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。人们对哥德巴赫猜想难题的热情,历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者,殚精竭虑,费尽心机,然而至今仍不得其解。

“1+S”以及陈氏定理

  到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论:每一个比大的偶数都可以表示为(9+9)。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9十9)开始,逐步减少每个数里所含质数因子的个数,直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明了哥德巴赫猜想。

  目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理:“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1 + 2”的形式。

  在陈景润之前,关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:

  1920年,挪威的布朗证明了“9 +9”。

  1924年,德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。

  1932年,英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。

  1937年,意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”,“4 + 9”,“3 + 15”和“2 + 366”。

  1938年,苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。

  1940年,苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。

  1948年,匈牙利的瑞尼证明了“1 + C”,其中C是一个无穷大的整数。

  1956年,中国的王元证明了“3 +4”。

  1957年,中国的王元证明了“3 + 3”和“2 + 3”。

  1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”,中国的王元证明了“1 + 4”。

  1965年,苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫,及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。

  1966年,中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

  从1920年布朗证明“9+9”到1966年陈景润攻下“1+2”,历经46年。自“陈氏定理”诞生至今的30多年里,人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究,均劳而无功。

对于陈氏定理的质疑

  一、陈景润证明的不是哥德巴赫猜想

  陈景润与邵品宗合著的《哥德巴赫猜想》第118页(辽宁教育出版社)写道:陈景润定理的“1+1”结果,通俗地讲是指:对于任何一个大偶数N,那么总可以找到奇素数P',P",或者P1,P2,P3,使得下列两式至少一式成立:“

  N=P'+P" (A)

  N=P1+P2*P3 (B)

  当然并不排除(A)(B)同时成立的情形,例如62=43+19,62=7+5X11。”

  众所周知,哥德巴赫猜想是指对于大于4的偶数(A)式成立,【1+2】是指对于大于10的偶数(B)式成立,

  两者是不同的两个命题,陈景润把两个毫不相关的命题混为一谈,并在申报奖项时偷换了概念(命题),陈景润也没有证明【1+2】,因为【1+2】比【1+1】难得多。

  二、陈景润使用了错误的推理形式

  陈采用的是相容选言推理的“肯定肯定式”:或者A,或者B,A,所以或者A或B,或A与B同时成立。这是一种错误的推理形式,模棱两可,牵强附会,言之无物,什么也没有肯定,正如算命先生那样“:李大嫂分娩,或者生男孩,或者生女孩,或者同时生男又生女(多胎)”。无论如何都是对的,这种判断在认识论上称为不可证伪,而可证伪性是科学与伪科学的分界。相容选言推理只有一种正确形式。否定肯定式:或者A,或者B,非A,所以B。相容选言推理有两条规则:1,否认一部分选言肢,就必须肯定另一部分选言肢;2,肯定一部分选言肢却不能否定另一部份选言肢。可见对陈景润的认可表明中国数学会思维混乱,缺乏基本的逻辑训练。

  三、陈景润大量使用错误概念

  陈在论文中大量使用“充分大”和“殆素数”这两个含糊不清的概念。而科学概念的特征就是:精确性,专义性,稳定性,系统性,可检验性。而“充分大”,陈指10的50万次方,这是不可检验的数。殆素数指很像素数,实际上是合数,拿相与不像从事严格的证明,是小孩子的游戏。

  四、陈景润的结论不能算定理

  陈的结论采用的是特称(某些,一些),即某些N是(A),某些N是(B),就不能算定理,因为所有严格的科学的定理,定律都是以全称(所有,一切,全部,每个)命题形式表现出来,一个全称命题陈述一个给定类的所有元素之间的一种不变关系,适用于一种无穷大的类,它在任何时候都无区别的成立。而陈景润的结论,连概念都算不上。

  五、陈景润的工作严重违背认识规律

  在没有找到素数普遍公式之前,哥氏猜想是无法解决的,正如化圆为方取决于圆周率的超越性是否搞清,事物质的规定性决定量的规定性。(哥德巴赫猜想传奇)王晓明1999,3期《中华传奇》责任编辑陶慧洁)

  布朗筛法的思路是这样的:即任一偶数(自然数)可以写为2n,这里n是一个自然数,2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和:2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1,2,…;3j和(2n-3j),j=2,3,…;等等),如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去,例如记其中的一对为p1和p2,那么p1和p2都是素数,即得n=p1+p2,这样哥德巴赫猜想就被证明了。前一部分的叙述是很自然的想法。关键就是要证明'至少还有一对自然数未被筛去'。目前世界上谁都未能对这一部分加以证明。要能证明,这个猜想也就解决了。

  然而,因大偶数n(不小于6)等于其对应的奇数数列(首为3,尾为n-3)首尾挨次搭配相加的奇数之和。故根据该奇数之和以相关类型质数+质数(1+1)或质数+合数(1+2)(含合数+质数2+1或合数+合数2+2)(注:1+2或 2+1同属质数+合数类型)在参与无限次的"类别组合"时,所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现,1+1与1+2的交叉出现(不完全一致的出现),同2+1或2+2的"完全一致",2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联系,就可导出的"类别组合"为1+1,1+1与1+2和2+2,1+1与1+2,1+2与2+2,1+1与2+2,1+2等六种方式。因为其中的1+2与2+2,1+2两种"类别组合"方式不含1+1。所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式,即其存在是有交替的,至此,若可将1+2与2+2,以及1+2两种方式的存在排除,则1+1得证,反之,则1+1不成立得证。然而事实却是:1+2与2+2,以及1+2(或至少有一种)是陈氏定理中(任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和,或一个素数与两个素数乘积的和),所揭示的某些规律(如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况)存在的基础根据。所以1+2与2+2,以及1+2(或至少有一种)"类别组合"方式是确定的,客观的,也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1"。

对于所谓的质疑的解释

  目前,我国有许多数学爱好者称自己证明了“哥德巴赫猜想”。其中一些人别有用心的散布“陈景润当年的证明是造假”“陈景润、王元、潘承洞偷换概念申报奖项”的谣言,歪曲事实,以达到炒作自己“成果”的目的。如被人不断转贴的《哥德巴赫猜想传奇》,如“陈在论文中大量使用“充分大”和“殆素数”这两个含糊不清的概念”,实际上,这两个概念数学界早已认同并普遍使用,而且陈景润证明中从没有“殆素数”的字样,“充分大”只用了一次;又如“陈的结论采用的是特称(某些,一些),即某些N是(A),所以根本不能算定理”,可以看出作者完全不理解“定理”的科学含义;又如“陈采用的是相容选言推理的“肯定肯定式”,这是一种错误的推理形式,言之无物,什么也没有肯定”而陈景润在证明中用到的根本不是“相容选言推理”的逻辑形式等,很多都是是作者的主观判断,缺乏根据。

哥德巴赫猜想的意义

  由于素数本身的分布呈现无序性的变化,素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系,偶数值增大时素数对值忽高忽低。能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗?不能!偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循。二百多年来,人们的努力证明了这一点,最后选择放弃,另找途径。于是出现了用别的方法来证明歌德巴赫猜想的人们,他们的努力,只使数学的某些领域得到进步,而对哥德巴赫猜想证明没有一点作用。

  歌德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系,表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式,是不存在的。它可以从实践上证实,但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾。个别如何等于一般呢?个别和一般在质上同一,量上对立。矛盾永远存在。歌德巴赫猜想是永远无法从理论上,逻辑上证明的数学结论。

  “用当代语言来叙述,哥德巴赫猜想有两个内容,第一部分叫做奇数的猜想,第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出,任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说,大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”(引自《哥德巴赫猜想与潘承洞》)

  关于歌德巴赫猜想的难度我就不想再说什么了,我要说一下为什么现代数学界对哥德巴赫猜想的兴趣不大,以及为什么中国有很多所谓的民间数学家对哥德巴赫猜想研究兴趣很大。

  事实上,在1900年,伟大的数学家希尔伯特在世界数学家大会上作了一篇报告,提出了23个挑战性的问题。哥德巴赫猜想是第八个问题的一个子问题,这个问题还包含了黎曼猜想和孪生素数猜想。现代数学界中普遍认为最有价值的是广义黎曼猜想,若黎曼猜想成立,很多问题就都有了答案,而哥德巴赫猜想和孪生素数猜想相对来说比较孤立,若单纯的解决了这两个问题,对其他问题的解决意义不是很大。所以数学家倾向于在解决其它的更有价值的问题的同时,发现一些新的理论或新的工具,“顺便”解决哥德巴赫猜想。

  例如:一个很有意义的问题是:素数公式。若这个问题解决,(详见“素数普遍公式”“孪生素数普遍公式”)关于素数的问题应该说就不是什么问题了。

  为什么民间数学家们如此醉心于哥猜,而不关心黎曼猜想之类的更有意义的问题呢?

  一个重要的原因就是,黎曼猜想对于没有学过数学的人来说,想读明白是什么意思都很困难。而歌德巴赫猜想对于小学生来说都能读懂。

  数学界普遍认为,这两个问题的难度不相上下。

  民间数学家解决哥德巴赫猜想大多是在用初等数学来解决问题,一般认为,初等数学无法解决哥德巴赫猜想。退一步讲,即使那天有一个牛人,在初等数学框架下解决了哥德巴赫猜想,有什么意义呢?这样解决,恐怕和做了一道数学课的习题的意义差不多了。

  当年柏努力兄弟向数学界提出挑战,提出了最速降线的问题。牛顿用非凡的微积分技巧解出了最速降线方程,约翰·柏努力用光学的办法巧妙的也解出最速降线方程,雅克布·柏努力用比较麻烦的办法解决了这个问题。虽然雅克布的方法最复杂,但是在他的方法上发展出了解决这类问题的普遍办法——变分法。现在来看,雅克布的方法是最有意义和价值的。

  同样,当年希尔伯特曾经宣称自己解决了费尔马大定理,但却不公布自己的方法。别人问他为什么,他回答说:“这是一只下金蛋的鸡,我为什么要杀掉它?”的确,在解决费尔马大定理的历程中,很多有用的数学工具得到了进一步发展,如椭圆曲线、模形式等。

  所以,现代数学界在努力的研究新的工具,新的方法,期待着哥德巴赫猜想这个“下金蛋的鸡”能够催生出更多的理论和工具。

人生公式1+1=?

  1+1=?不就是等于二吗?是的,的确是这样。但是这个二却不可小觊。2可以分解成1+1、0.1+1.9、0.5+1.5……1里面的成分是:0.5+0.5、0.1+0.9、0.56+0.44…换个角度1+1虽然等于二但是却有许多含义。譬如说1+1=2分解后就是:0.5+0.5+1=2

  其中0.5+0.5=天生+后天培养;1=汗水。这是十分容易理解的一个公式。当然要是换个角度,聪明的人就知道凡事无绝对。答案不可能只有1个,含义亦是如此。

歌手卓文萱

  《1+1》是音乐甜心卓文萱09年度新专辑《Play n Fun【1+1】》的一首新歌。 

  近年来歌影两边走,凭偶像剧《公主小妹》和《翻滚吧!蛋炒饭》的演出备受赞赏,并将搭档康康主持中天节目《创作天团superband》,这张新曲加精选《Play nFun【1+1】》正好见证她自13岁那年签下了滚石唱片出道以来的10年蜕变进化。预计双CD收录包括“一秒也好”在内的六首新曲,以及17首精选。

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