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A.-L.柯西(1789~1857)

  法国数学家。1789年8月21日生于巴黎,1857年5月23日卒于巴黎附近的索镇。他出身于高级官员家庭,其父曾任法国参议院秘书长,从小受过良好的教育。在孩提时期,他就接触到P.-S.拉普拉斯J.-L.拉格朗日这样一些大数学家。1805年入巴黎综合工科学校,1807年就读于道路桥梁工程学校,1809年成为工程师,随后在运河、桥梁、海港等工程部门工作。1813年回到巴黎,任教于巴黎综合工科学校。由于他在数学和数学物理方面的杰出成就,1816年取得教授职位,同年,被任命为法国科学院院士。此外,他还占有巴黎大学理学院和法兰西学院的教授席位。

  1830年,波旁王朝被推翻,柯西拒绝宣誓效忠新的国王,因此失去了所有的职位。他自行出走,先到瑞士的弗里堡,后被前国王召到布拉格,协助宫廷教育,1838年回到巴黎,继任巴黎综合工科学校教授,并恢复了在科学院的活动。1848年任巴黎大学教授。

  柯西早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题:凸多面体的角是否被它的面所决定?柯西作了肯定的回答,这一直是几何学中的一个精彩的结果。1812年,他证明了P.de费马提出的猜想:任意正整数都是n个n角数之和。然而,他一生中最重要的数学贡献却在另外三个领域:微积分学复变函数微分方程

  19世纪初,微积分学是不严格的。当时流行的看法是,对实数为真的命题对复数也为真;对有限量为真,对无穷小也为真;对收敛级数为真,对一般级数也为真。柯西拒绝这种所谓“代数化”的假设。他率先定义了级数的收敛、绝对收敛、序列和函数的极限,并形成了一系列的判断准则。特别是发现了判断收敛性的柯西准则。他定义了上、下极限,并证明了200711151415dfjkweree.gif的收敛性。他最先使用极限符号。柯西还建立了连续函数的概念,并强调微商是一个极限。他用和的极限给定积分下了第一个合适的定义,并研究了奇异积分。同时,他亲自计算出许多经典的积分。柯西经常用“无穷小”这个词,但他不了解一致收敛的重要性,因此,他的微积分学也有漏洞。毫无疑问,他是经典分析的奠基人之一。他为微积分学所奠定的严格基础推动了整个分析学的发展。

  柯西最出色的贡献是在复变函数论领域。现代复变函数理论发端于他的工作。首先,他证明了复数的代数与极限运算的合理性,定义了复函数的连续性。他给出了柯西-黎曼方程,定义了复函数沿复域中任意路径的积分,并得到重要的积分定理:在函数没有奇异性的区域内,积分仅仅依赖于路径的端点。由此导出了著名的柯西积分公式:


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这个定理和公式是复变函数论的基础。柯西定义了复函数在极点处的留数,给出了计算留数的公式,建立了留数定理。他还得到了函数的幂级数展开式,提出了幂级数的收敛半径这个概念,得到了通项系数的换算估计式(即柯西不等式)。柯西还研究了多值函数,他实际上允许被正实轴割裂的平面作为以原点为分支点的函数的定义域,这为黎曼面的创立提供了思想基础。

  柯西对微分方程的重要贡献是他提出了两个基本问题:(1)解的存在性并不是不言而喻的,尽管有些微分方程的解不能用算式得到,但其存在性是可以证明的;(2)解的惟一性是由初值(或边值)而不是由积分常数决定的。后者是偏微分方程中著名的柯西问题。这两个问题的提出,开创了微分方程研究的新局面。他还创造了解线性偏微分方程的特征值方法,并在研究数学物理方程的过程中,独立地发现了傅里叶变换的逆公式。

  柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作。特别是,他弄清了弹性理论的基本数学结构,为弹性力学奠定了严格的理论基础。

  柯西是一位多产的数学家,一生共发表论文800余篇,著书 7本。《柯西全集》共有27卷。其中最重要的是为巴黎综合工科学校编写的《分析教程》(1821);《无穷小分析教程概论》(1823);《微积分在几何上的应用》(1826~1828)。柯西的著作,大多是急就章,但都朴实无华。有思想,有创见。他所发现和创立的定理和公式,往往是一些最简单、最基本的事实。因而,他的数学成就影响广泛,意义深远。

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